Discontinuidad

Discontinuidad es un concepto central en el análisis de funciones. En un contexto matemático, una función f es continua en un punto a si el límite de f(x) cuando x tiende a a existe y es igual a f(a), siempre que a pertenezca al dominio de f. Si esto no se cumple, f presenta una discontinuidad en ese punto.

Existen varios tipos de discontinuidad. Una discontinuidad removible ocurre cuando el límite existe y es L cuando x→a, pero f(a) ≠ L o f(a) no está definido; la función puede hacerse continua redefiniendo f(a) a L. La discontinuidad de primer tipo, o de salto, ocurre cuando existen límites laterales L− y L+ al acercarse a a, pero no son iguales; la función “salta” de un valor a otro. La discontinuidad de segundo tipo se produce cuando el límite no existe o es infinito; puede haber una discontinuidad infinita (f(x)→±∞) o una discontinuidad oscilatoria (el límite no existe por oscilación).

Ejemplos comunes ayudan a ilustrar. f(x) = (x^2−1)/(x−1) tiene una discontinuidad removible en x=1 (el factor (x−1) se cancela). f(x) = floor(x) presenta discontinuidades de salto en cada entero k. La función f(x) = sin(1/x) para x≠0, definida en x=0 como 0, tiene una discontinuidad oscilatoria en x=0.

Propiedades y consideraciones. El conjunto de puntos de discontinuidad de una función puede variar considerablemente; por ejemplo, para funciones monótonas es a lo sumo numerable. El estudio de discontinuidades es relevante en el análisis de integrales, series y en la caracterización de comportamientos locales de funciones.

Véase también: continuidad, límite.