Dinterpolació

D’interpolació, també coneguda com interpolació, és el conjunt de tècniques matemàtiques i numèriques que permeten estimar valors de la funció en punts entre punts de dades coneguts. Donats un conjunt de parells (x_i, y_i) amb x_i distintes, l’objectiu és construir una funció f tal que f(x_i) = y_i per a cada i. Un cop així, es pot utilitzar per estimar valors en x entre els x_i (interpolació) o fora de l’interval (extrapolació).

Els mètodes d’interpolació es poden classificar de diferents maneres. L’interpolació lineal utilitza segments de recta entre punts adjacents. L’interpolació polinòmica, per Lagrange o Newton, construeix un únic polinomi que passa per tots els punts. Les splines, especialment les splines cúbiques, ofereixen suavitat i estabilitat fent servir polinomis per trams. També existeixen mètodes menys conservadors, com l’interpolació per veïns més propers.

Característiques clau inclouen que l’interpolació és exacta en els punts coneguts, però no garanteix precisió fora d’aquest conjunt. L’ús de polinomis dalt grau pot comportar l’efecte Runge (oscillacions) i mala condicionabilitat numèrica si la distribució de x_i és desfavorable. Les splines poden reduir aquest problema mantenint la suavitat. La selecció del mètode depèn de la distribució dels punts, la necessitat de suavitat i la tècnica d’aplicació.

Àmbits d’aplicació principals són gràfics i visualització de dades, reconstrucció de senyals, modelatge numèric i enginyeria. Històricament, les tècniques d’interpolació poden rastrejar-se fins a Newton i Lagrange, evolucionant fins a mètodes més moderns com les splines.