Diffusionsproblemer

Diffusionsproblemer er en klasse af problemstillinger inden for matematisk modellering, der beskriver spredning af en størrelse såsom varme, stof eller koncentration over tid og rum. De fysiske processer kan ofte beskrives ved paraboliske partielle differentialligninger (PDE’er), og løsningerne giver en tidsudvikling af rumfordelingen af den pågældende quantity.

I den enkleste form følger diffusionsligningen uafhængig af kilde fra ∂u/∂t = κ Δu + f(x,t), hvor u(x,t) er den fordelt mængde, κ er diffusivitet, Δ er Laplace-operatoren, og f er en kilde- eller afgivelsesterm. Domænet Ω ⊂ R^n beskriver rummet, og t ≥ 0 angiver tiden. Initialbetingelsen er u(x,0) = u0(x) for x i Ω. På grænseoverfladen ∂Ω kan forskellige randbetingelser vælges: Dirichlet betingelse u = g på ∂Ω, Neumann betingelse ∂u/∂n = h, eller Robin-betingelse αu + β∂u/∂n = φ.

Løsningerne kan findes analytisk for simple geometrier ved separation af variable eller transformmetoder og ved hjælp af heat-kernelens egenskaber. For mere generelle problemer bruges numeriske metoder såsom finite difference, finite element eller finite volume. Eksistens og entydighed af løsningen følger fra teori for paraboliske PDE’er, ofte med energi- eller varieringsbaserede skøn.

Diffusionsproblemer har bred anvendelse, herunder varmeledning, forurening og stofspredning i miljøet samt spredning af koncentrationer i væv. I sandsynlighedsteori optræder ligningen som en variant af Fokker-Planck-ligningen, der beskriver tidsudviklingen af sandsynlighedsfordelinger.