Differentiaaligeometria

Differentiaaligeometrie is een tak van de wiskunde die de meetkundige eigenschappen van ruimten onderzoekt met behulp van differentiatie op gladde variëten. De theorie combineert analyse, algebra en topologie en dient als kader voor vele toepassingen in de natuurkunde, computerwetenschap en beeldvorming. Belangrijke objecten zijn variëten, hun tangent- en cotangentbundels en tensorvelden zoals metriek, verbindingen en differentialvormen.

Een centraal concept is de metric structuur. Een Riemannische metric bepaalt afstanden en hoeken; de Levi-Civita-verbinding koppelt de metriek aan een manier om paden te vergelijken en afwijkingen te meten. Hiermee definieert men kromming via de Riemann-curvatuur, de Ricci-curvatuur en de scalar curvature; geodesieën zijn kortste of extremale routes die met betrekking tot de metric “recht” lopen.

Differentiale geometrie maakt gebruik van verschillende technieken, waaronder de exterior calculus met differentialvormen en wedge-producten, en concepten zoals verbindingen, holonomie en curvature forms op vectorbundels. Naast de Riemannische geometrie bestaan subvelden als symplectische geometrie (fase-ruimte), complexe differential geometrie en contactgeometrie, vaak in samenhang met gauge-theorie en globale analyse.

Toepassingen zijn onder meer algemene relativiteitstheorie, theoretische en toegepaste mechanica, robotica, computergraphics en vormanalyse in biologie en datawetenschap.

Historisch ontstond het veld uit werk van Gauss en Riemann, met belangrijke bijdragen van Levi-Civita, Cartan, Weyl, Chern en Nash.