Differenssiyhtälöt

Differenssiyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka liittyvät peräkkäisten arvojen välisiin eroihin. Ne kuvaavat, kuinka jokin suure muuttuu diskreetteinä aikaväleinä tai askelina. Toisin sanoen, ne ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät jonkin jonon tai sekvenssin seuraavan termin riippuen edellisistä termeistä.

Tärkeimpiä elementtejä differenssiyhtälössä ovat riippumaton muuttuja, joka tyypillisesti edustaa aikaa tai askelta, ja riippuva muuttuja, joka on tarkasteltava suure. Yhtälö ilmaisee riippuvan muuttujan arvon tietyssä askeleessa funktiona sen arvoista aiemmissa askeleissa.

Differenssiyhtälöitä käytetään laajasti monilla eri tieteenaloilla. Niitä sovelletaan esimerkiksi taloustieteessä mallintamaan taloudellisia prosesseja, biologian puolella populaatiodynamiikan tutkimisessa ja fysiikassa esimerkiksi värähtelyjen tai muiden diskreettien ilmiöiden kuvaamisessa. Tietojenkäsittelytieteessä niitä käytetään algoritmien analysoinnissa.

Yksinkertaisin tyyppi on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differenssiyhtälö, joka voidaan esittää muodossa $x_{n+1} = ax_n + b$, missä $a$ ja $b$ ovat vakioita. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sen jonon löytämistä, joka toteuttaa yhtälön. Ratkaisut voivat olla analyyttisiä tai numeerisia riippuen yhtälön monimutkaisuudesta ja tarkoituksesta.