Differensialligninger

Differensialligninger er ligninger som involverer en ukendt funktion og dens afledte. De beskriver hvordan en tilstand ændrer sig over tid eller andre variable og angiver relationer mellem tilstand og hastighed af ændring. En løsning er en funktion som opfylder ligningen for alle relevante værdier af den uafhængige variabel, ofte med initial- eller randbetingelser. Differensialligninger anvendes til modellering af dynamiske processer i naturvidenskab og teknik.

Efter orden og lineæritet skelnes der mellem forskellige typer. En førsteordens differensialligning involverer kun første afledte, mens højere ordens involverer højere afledte. Den kan være lineær eller ikke-lineær. Lineære differensialligninger beskrives ofte ved y' + p(t)y = q(t) eller ved systemer i form af y' = Ay + b(t). Ikke-lineære ligninger kan have mere komplekse adfærd, herunder kaotiske løsninger eller multiple løsninger under samtidige betingelser.

Løsningsmetoderne spænder fra analytiske til numeriske. Analytiske metoder omfatter separable ligninger, integrerende faktor, variation af konstanter og løsninger for ligninger med konstant koefficienter. For lineære systemer bruges ofte egenværdier og karakteristiske ligninger; Laplace-transformer kan forenkle initialværdistningsproblemer. Numeriske metoder som Euler- og Runge-Kutta-teknikker er centrale når lukkede løsninger ikke findes.

Anvendelser findes bredt inden for fysik, kemi, biologi, ingeniørfag og økonomi. Et enkelt eksempel er y' = -k y med løsning y(t) = y0 e^{-kt}, der beskriver eksponentiel tilbagegang i trækket af snor eller koncentrationer over tid.