Diagonaalisoida

Diagonaalisoida tarkoittaa, että neliömatriisi A voidaan muuntaa diagonaaliksi samanmuuttajana P siten, että P^{-1}AP = D, jossa D on diagonaalinen matriisi. Tällainen muutos perustuu ominaisvektoreihin: D:n päädye on A:n ominaisarvot ja sen sarakkeet muodostuvat ominaisvektoreista, jotka kuuluvat P:iin.

Diagonaalisoituvuuteen vaikuttavat ominaisarvot ja ominaisvektorit. A on diagonaalisoituva, jos sillä on riittävä määrä lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita, eli jokaiselle ominaisarvolle λ:llä geometrinen multipliciteetti on yhtä suuri kuin sen algebraic multipliciteetti. Yleisesti kaikki erilliset ominaisarvot takaavat diagonaalisoituvuuden. Toisaalta, jos jokin ominaisarvo on toistettu ja ominaisvektoreita ei riittävästi, matriisia ei voi diagonaalisoida. Tämä voidaan todeta minimaalisen polynomin avulla: A on diagonaalisoituva, jos minimaalinen polynomi jakautuu kertomattomien tekijöiden lukuna.

Menetelmät ja käyttö. Etsitään ensiksi ominaisarvot ratkaisemalla determinantti det(A−λI)=0, jonka jälkeen lasketaan kullekin ominaisarvolle sen ominaisvektorit. Pivotoitua matrix P:iin keräämällä näitä ominaisvektoreita ja muodostamalla D = P^{-1}AP saadaan matriisi diagonaalina. Erityistapaus: jos A on reaalinen symmetrinen, on olemassa ortogonaalinen Q siten, että Q^T A Q = D, ja kaikki ominaisarvot ovat realisia.

Sovellukset. Diagonaalinen muoto helpottaa matriisilaskutoimituksia kuten matriisifunktioiden (esim. exp(A)) laskemista sekä potenssien tai järjestelmän ratkaisujen yksinkertaistamista lineaarisissa differentiaaliyhtälöissä. Se ei aina ole mahdollinen kaikille matriiseille, ja silloin voidaan käyttää muun tyyppisiä normaalimuotoja kuten Jordan-muotoa.