Determinantul

Determinantul unei matrici pătrate A de ordin n este un număr scalar asociat acestei matrici, notat det(A) sau |A|. Pentru cazuri mici, cum ar fi n = 2 sau n = 3, există formule explicite: det unei matrice 2×2 este ad - bc, iar pentru 3×3 se poate utiliza regula lui Sarrus sau expandarea pe o linie. În general, determinantul poate fi definit prin dezvoltare în funcție de o linie sau coloană sau prin metode de eliminare Gaussiana.

Determinantul are mai multe proprietăți importante: det(A B) = det(A) det(B); det(A^T) = det(A); det(kA) = k^n det(A) pentru orice scalar k; det(I) = 1. Dacă matricea A are rânduri sau coloane liniare dependente, atunci det(A) = 0. O matrice este invertibilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0; în acest caz, inversa lui A există și det(A^{-1}) = 1 / det(A).

Interpretarea geometrică și algebrică este centrală: determinantul reprezintă factorul de scalare al volumului paralelipipedului generat de rândurile (sau coloanele) lui A în spațiul euclidian, iar semnul său reflectă schimbarea de orientare a transformării liniare reprezentate de A. Astfel, det(A) ≠ 0 semnalează o transformare n- dimensională invertibilă, iar valoarea absolută a determinantului indică cum este scalat volumul.

Pentru calcule practice, se folosesc eliminarea Gaussiana sau descompunerea LU, determinând det(A) în O(n^3) operații. Expansiunea prin cofactorii (de tip Laplace) are complexitate exponențială, fiind impracticabilă pentru molitatea mare. Istoric, determinantul a fost dezvoltat în secolul al XVII-lea–al XVIII-lea, cu contribuții ale lui Leibniz, Cramer și Gauss.