Deltafunktsiooniga

Diraci deltafunktsiooniga (deltafunktsioon) on jaotus, mida kasutatakse matemaatikas ja füüsikas. See ei ole klassikaline funktsioon; selle mõju määratakse testfunktsioonide kaudu. Kui φ on õigeid omadusi omav funktsioon, defineeritakse δ kui til⟨δ, φ⟩ = φ(0). See ühendab funktsiooni väärtuse punktis 0 kogu testfunktsiooniga.

Omadused: delta on Null-peaaegu kõikjal, välja arvatud at on x = 0, kus selle väärtus klassikaliselt määratletud ei ole; selle “algebra” on sälts ∫ δ(x) dx = 1. Sifting või võrgustamisomadus: ∫_{-∞}^{∞} φ(x) δ(x−a) dx = φ(a). Skopeerimine ja nihutamine: δ(x−a) on delta, mis asub x = a ning δ(ax) = δ(x)/|a| (a ≠ 0).

Esitused ja seosed: delta saab mõista piirväärtusena järjekordadele δ_n(x) → δ(x) ja on tihti seotud Heaviside astmelise funktsiooniga H, kus δ = dH/dx. Fourieri teisenduses on δ̂(k) konstantne, mis kajastab delta mõju kõikidel sagedustel. Mitmemõõtmelises ruumis defineeritakse δ^n(x) nii, et ∫ f(x) δ^n(x−a) d^n x = f(a).

Rakendused: delta on oluline impulssiiri, süsteemi vastuse ja märgistamise kirjeldamisel; see esindab “üksikimpulsi” sündmust ning ilmub Green’i funktsioonides, signaalitöös ja kvantfüüsikas. Deltafunktsiooniga käsitletakse ka konvolutsioone ja diferentsiaalvõrrandite lahendeid.