Deltafunktioner

Deltafunktioner, ofta kallad Diracs deltafunktion, är verktyg som används inom matematik, fysik och signalbehandling. De är inte vanliga funktioner utan distributionsfunktioner som verkar på testfunktioner i ett integralsammanhang.

Grundläggande egenskaper är sifting-egenskapen. För en variabel x gäller ∫_{-∞}^{∞} δ(x) φ(x) dx = φ(0) för varje lämplig testfunktion φ. För en förskjuten delta, δ(x−a), är ∫ δ(x−a) φ(x) dx = φ(a). Normaliseringen är ∫ δ(x) dx = 1. Dessa egenskaper gör δ till identitetsfunktionen i konvolution: f * δ = f.

Deltafunktioner kan även skalas och generaliseras till flera dimensioner. För en skalfaktor a ≠ 0 gäller δ(a x) = δ(x)/|a|. I n-dimensioner är δ^n(x) en produkt som uppfyller ∫ δ^n(x) φ(x) d^n x = φ(0).

Representationer och approximationer är vanliga i praktiken. δ kan ses som gränsen av sekvenser av vanliga funktioner, till exempel δ(x) = lim_{σ→0} (1/(√π σ)) e^{-(x/σ)^2} eller andra mollor. Dessa funktioner uppfyller i grunden samma sifting-egenskaper i gränsen.

Användningar är breda: δ används som impulssvar i signalbehandling, vid lösning av differentialekvationer genom konvolution, och som gröna funktioner i fysik, exempelvis i kvantmekanik som projektion på positionstillstånd. Derivatan δ′ definieras via ∫ δ′(x) φ(x) dx = −φ′(0). Deltafunktioner är alltså distributionsverktyg som underlättar hantering av oändliga och punktlika fenomen.