Cauchyfördelningen

Cauchyfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning med platsparameter x0 och skalfaktor γ > 0. Den har tätheten

f(x) = (1/π) · [ γ / ((x − x0)^2 + γ^2) ].

Den standarda Cauchy-fördelningen har x0 = 0 och γ = 1, med tätheten f(x) = 1/(π(1 + x^2)).

Cumulative distribution function (CDF) är

F(x) = (1/π) arctan((x − x0)/γ) + 1/2.

Fördelningen är symmetrisk kring x0 och medianen är x0. Den tillhör location–scale-familjen: om X ~ Cauchy(x0, γ), så är aX + b ~ Cauchy(ax0 + b, |a|γ).

Egenskaperna inkluderar att kvantiteter som medelvärde och varians är oändliga; förväntningar och varianser existerar inte. Trots detta har fördelningen många stabila egenskaper: summan av oberoende Cauchy-fördelade variabler är också Cauchy, med platsparameter summan av x0 och skala/ γ summan av γ_i. En vanlig representation är att X = Z1/Z2 där Z1 och Z2 är oberoende standardnormala variabler; då får man X ~ standard Cauchy.

Användningar och innebörd: Cauchyfördelningen används ofta som exempel på tungt svansade fördelningar och i robusta statistiska sammanhang samt i ratio- och signalbehandling-sammanhang. Namnet härrör från matematikern Augustin-Louis Cauchy.

---