Bågförändring

Bågförändring är en term som används för att beskriva variationen i en kurvas böjning längs dess längd. Inom differentialgeometri och relaterade ämnen betecknas ofta kurvaturen som κ(s), där s är arclängden. Bågförändringen avser hur denna böjning förändras längs kurvan, det vill säga hur snabbt κ ändrar sig när man rör sig längs arket. En kurva kan då beskrivas genom både den aktuella böjningen och hur den förändras längs arket.

Inom plan geometri är kurvaturen κ för en parametriserad kurva r(t) = (x(t), y(t)) given av κ = |x' y'' - y' x''| / (x'^2 + y'^2)^(3/2). Om kurvan är parameteriserad med arclängden, så att ds/dt = sqrt(x'^2 + y'^2), kan förändringen av kurvaturen längs kurvan skrivas som dκ/ds = (dκ/dt) / (ds/dt). Denna kvantitet beskriver hur böjningen varierar längs arket och kallas ibland derivatan av κ med avseende på arclängden.

Praktiska egenskaper och exempel: En cirkel har konstant kurvatur κ, vilket ger dκ/ds = 0. En rät linje har κ = 0 och därmed dκ/ds = 0. Bågförändringen används i olika sammanhang där formen på en ark eller kurva påverkas av externa krafter eller transformationer. Tillämpningar finns inom väg- och järnvägsdesign för att kontrollera böjningsradier och komfort, inom datorgrafik och animation för realistisk böjning av vägar och kanter, samt inom materialvetenskap och biomekanik där böjning av stänger, vattenlevande strukturer eller biologiska kedjor studeras.