Binominale

Binominale è un termine utilizzato in matematica per riferirsi a concetti legati al binomio, cioè a una struttura formata da due termini. In senso pratico, un’espressione binomiale è una somma o una differenza di due monomi, come a + b, 2x - 5 o x^2 + y^2.

I coefficienti binomiali, detti anche coefficienti del binomio, sono i numeri che compaiono nelle espansioni di potenze di un binomio. Per ogni intero n ≥ 0, il coefficiente C(n, k) è dato da n!/(k!(n-k)!). Le proprietà fondamentali includono C(n, k) = C(n, n-k) e l’identità somma_{k=0}^n C(n, k) = 2^n (ponendo i coefficienti in una riga di Pascal).

Teorema del binomio: per interi n ≥ 0, (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k. Esiste anche una versione generalizzata, nota come binomio di Newton, valida per esponenti reali o complessi, espressa tramite una serie infinita con coefficienti binomiali generalizzati.

Interpretazione combinatoria e applicazioni: C(n, k) conta il numero di modi di scegliere k elementi da un insieme di n elementi, fornendo una base per molte formule in combinatoria. In probabilità, la distribuzione binomiale descrive il numero di successi in n prove indipendenti con probabilità p di successo: P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}. I concetti binomiali trovano impiego anche in algebra, informatica teorica e analisi combinatoria.