Basisveranderingen

Basisveranderingen verwijzen naar het wisselen tussen verschillende bases van een vectorruimte en naar het bijbehorende veranderen van de coördinaten van vectoren en van lineaire afbeeldingen. Een basis van een vectorruimte V is een verzameling vectoren die V spant en die lineair onafhankelijk is.

Neem twee bases B = (b1, ..., bn) en B' = (b1', ..., bn'). De veranderingsmatrix van B' naar B, oftewel de change-of-basis matrix P, heeft als kolommen de coördinaten van de nieuwe basisvectoren in de oude basis B: kolom i is [bi']_B. Dan geldt voor elke vector v in V dat [v]_B = P [v]_{B'}, zodat [v]_{B'} = P^{-1} [v]_B. Als B en B' gelijk zijn, is P de identiteit.

De matrixrepresentatie van een lineaire afbeelding T verandert op dezelfde manier: [T]_{B'} = P^{-1} [T]_B P. Als B en B' orthonormale bases zijn, is P een orthogonale matrix.

Een basisverandering verandert de vectoren zelf niet, maar hun coördinaten. Deze verandering wordt gebruikt bij diagonalisatie, vereenvoudiging van berekeningen, en in toepassingen zoals computergrafische weergave en numerieke lineaire algebra.

In een eindig-dimensionale ruimte hebben beide bases hetzelfde aantal vectoren (het dimensionale aantal van V). Als B' gelijk is aan B, is P de identiteit.