Basisvektorer

Basisvektorer är en uppsättning vektorer i ett vektorutrymme som är linjärt oberoende och som spänner upp utrymmet. För ett ändligt dimensionsrum V över fältet F innebär det att det finns n vektorer v1, …, vn så att varje vektor v i V kan skrivas unikt som v = a1 v1 + … + an vn. Antalet vektorer kallas dimensionen dim(V).

En bas B = {v1, …, vn} ger ett koordinatsystem i V. Varje vektor v i V har koordinaterna [v]_B = (a1, …, an) relativt basen B, där v = a1 v1 + … + an vn. Om man har två baser B och C finns det en inverterbar matris som kopplar koordinaterna mellan baserna. Om E är standardbasen i R^n och B en annan bas, så finns en matris M med [v]_E = M [v]_B, och omvänt [v]_B = M^{-1} [v]_E.

Egenskaper och varianter: Basvektorer behöver inte vara ortogonala. En ortonormal bas förenklar beräkningar när vektorrummet har en inre produkt. Gram–Schmidt är en metod för att konstruera en ortonormal bas från en linjärt oberoende mängd. I oändlig-dimensionala rum används olika typer av baser (t.ex. Hamel-baser eller ortogonala/topologiska baser) beroende på sammanhanget.

Exempel: I R^2 är standardbasen e1 = (1, 0) och e2 = (0, 1). En annan bas är f1 = (1, 1) och f2 = (1, −1), där varje vektor kan skrivas som v = a f1 + b f2. Basvalet ger unika koordinater och möjliggör enkel omvandling mellan olika sifferrepresentationer.