Basisfunktioihin

Basisfunktioihin ovat joukko funktioita, jotka muodostavat tilan perusjoukon. Tällaisen tilan jokainen jäsen voidaan kirjoittaa lineaarisena yhdistelmänä näistä basisfunktioista: f(x) = sum_i c_i φ_i(x). Tilat voivat olla sekä äärellä että äärettömiä, ja konvergenssi määritellään käytetyn normin tai sisätulon perusteella. Näin koostetusta esityksestä on hyötyä sekä teoreettisessa analyysissä että numeerisessa laskennassa.

Jos basisfunktioita käytetään ortonormaaleina, kertoimet saadaan projektioilla: c_i = ⟨f, φ_i⟩ / ⟨φ_i, φ_i⟩. Ilman ortogonaalisuutta kertoimet ratkaistaan yleisesti lineaarisella järjestelmällä, jonka ratkaisu määräytyy basisin lineaarisesta riippumattomuudesta ja konditionoinnista. Täydellisyys (completeness) tarkoittaa, että jokainen tilan funktio voidaan lähestyä äärellä tai äärettömällä summalla.

Esimerkkejä basisfunktioista ovat Fourier-basis trigonometriset funktiot periodisella välillä; Legendre- tai Chebyshev-polynomit väliaikaisille tiloille; wavelet-base & haarwaveletit sekä muut waveletit; B-spline-basisit, jotka soveltuvat piecewise-tason approksimaatioon; sekä radiaaliset basisfunktiot (RBF) interpoloinnissa. Myös finitely-elementtimenetelmät rakentavat tilan muotofunktioista, jotka ovat paikallisesti kannatettuja ja tukevat rajattuja ratkaisuja.

Käyttökohteita ovat signaali- ja kuvan käsittely, numeerinen ratkaisu differentiaaliyhtälöihin, funktion approksimaatio sekä koneoppimisen menetelmät, kuten kernel- ja spline-pohjaiset lähestymistavat. Basisfunktioiden valinta vaikuttaa sekä tarkkuuteen että laskennalliseen tehokkuuteen.