Basisfunktioiden

Basisfunktioiden käsite viittaa joukkoon funktioita, jotka muodostavat funktion tilan lineaarisen pohjan. Tällainen joukko on lineaarisesti erillinen ja kattaa tilan, jolloin jokainen f ∈ V voidaan esittää lineaarisen yhdistelmänä f = ∑ c_i φ_i. Tämä esitys voi olla äärellinen tai äärettömän sarjan konvergoiva, riippuen tilasta.

Jos V on inner product -tila (esim. Hilbertin tila), ja {φ_i} on ortonormaali, koeffisientit ovat c_i = ⟨f, φ_i⟩. Ortonormaaliutta hyödyntämällä esitys f = ∑ ⟨f, φ_i⟩ φ_i on usein yksinkertainen ja stabiili. Kokoelma voi olla myös ei-ortonormaali, jolloin käytetään esimerkiksi projektioita ja Gram–Schmidt -menetelmää ortonormaalin järjestelmän saamiseksi.

Esimerkkejä basisfunktioista ovat polynominen perusta {1, x, x^2, …} C[a, b] -tilassa, trigonometrinen perusta Fourier-sarjoissa {1, sin(nx), cos(nx)} tietyllä jaksolle, sekä erilaiset paikallisesti tuetut pohjat kuten Haar-aaltojen tai B-spline-pohjat. Finite element -menetelmissä käytetään usein hat-funktioita (tukiperustaisia) pohjia differentiaaliyhtälöiden numeerisessa ratkaisussa.

Ominaisuudet voivat sisältää lineaarisuuden, lineaarisen riippumattomuuden ja täydellisyyden. Paikallinen tuki ja akateeminen kyky tuottaa stabiileja koeffisientteja ovat tärkeitä valintaperusteita sovelluksissa.

Käyttötarkoitukset kattavat funktion likimääräisen esityksen sekä numeerisen ratkaisun diffrentiaaliyhtälöille (Galerkin- ja प्रकाशित -menetelmät), signaalin käsittelyn, datan tiivistämisen ja pakkaamisen sekä monia muita laskennallisia ja soveltavia alueita.