Basisereignisse

Basisereignisse, auch als elementare Ereignisse bezeichnet, sind die grundlegendsten Outcomes eines Zufallsexperiments. In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum besteht der Stichprobenraum Ω aus einer endlichen oder abzählbaren Menge von Ergebnissen, und die Basisereignisse sind die Einzelelemente {ω} für ω ∈ Ω. Sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt Ω; sie bilden eine Partition des Stichprobenraums und fungieren als die Atome der Ereignismenge.

Jedes Ereignis A ⊆ Ω lässt sich als Vereinigung von Basisereignissen schreiben: A = ∪_{ω ∈ A} {ω}. Wählt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P über die Ereignismenge, gilt die Additivität P(A) = ∑_{ω ∈ A} P({ω}). Die Werte P({ω}) heißen atomare Wahrscheinlichkeiten. Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt P({ω}) = 1/|Ω| und P(A) = |A|/|Ω|.

In kontinuierlichen Räumen gibt es oft keine Basisereignisse mit positivem Wahrscheinlichkeitsmaß; das Konzept der Basisereignisse bezieht sich dann eher auf die Atome der Ereignismenge. Dennoch dienen Basisereignisse als einfache Bau- und Berechnungsgrundlage: Sie ermöglichen die Darstellung beliebiger Ereignisse als Kombinationen der grundlegendsten Outcomes und erleichtern die Definition randomisierter Größen.

Beispiele: Bei einem fairen Münzwurf ist Ω = {Kopf, Zahl} mit Basisereignissen {Kopf} und {Zahl}. Beim Würfeln mit sechs Seiten sind die Basisereignisse {1}, {2}, ..., {6}.