Basisdefinitionen

Basisdefinitionen

In der linearen Algebra bezeichnet man als Basis eines Vektorraums V über dem Körper F eine Teilmenge B ⊆ V, die zwei Eigenschaften erfüllt: Sie ist linear unabhängig und sie spannt V. Damit lassen sich alle Vektoren von V als eindeutige Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen. Die Anzahl der Elemente von B heißt die Dimension von V, sofern V endlichdimensional ist.

Ausdrücklich bedeutet dies: Für jedes v ∈ V existieren eindeutige Koeffizienten α1, …, αk mit v = α1b1 + … + αkbk, wobei B = {b1, …, bk} ist. Mit der festen Reihenfolge der Basisvektoren erhält man eine Koordinatenrepräsentation [v]B ∈ F^k, die die Vektoren eindeutig bezüglich B angibt. Umgekehrt liefert ein Koordinatenvektor α eine Linearkombination v = ∑ αi bi.

Beispiele: In R^n ist die Standardbasis e1, …, en eine Basis. Im Raum der Polynome Grad ≤ n ist die Basis {1, x, x^2, …, x^n} eine Basis. In Funktionenräumen können verschiedene Basen genutzt werden, etwa eine Orthonormalbasis oder eine Fourierbasis im passenden Hilbertraum.

Basiswechsel und Koordinaten: Sind B und B' zwei Basen von V, so gibt es eine invertierbare Matrix, die Koordinaten von [v]B nach [v]B' überführt. Die Dimension von V bleibt dabei invariant. Weitere verwandte Begriffe sind orthonormale Basen, Gram-Schmidt-Formen und der Zusammenhang zwischen Basen und Erzeugendensystemen.