Asymptotiskt

Asymptotiskt är ett adjektiv som används inom matematik och beslutsvetenskap för att beskriva hur något beter sig när en variabel närmar en gräns, oftast mot oändligheten eller mot noll. Begreppet används för att karaktärisera långsiktiga beteenden, approximationer och gränsvärden.

Inom kalkyl och analys används asymptotik för att uttrycka att två funktioner f och g är asymptotiskt lika när x går mot en viss gräns, vanligtvis x → ∞, om lim f(x)/g(x) = 1. Man talar då om att f(x) ~ g(x) när x → ∞. Enligt detta sätt att resonera kan man även beskriva hur en funktion närmar sig enlighet som kan modelleras med en asymptotisk utväg, exempelvis ett polynom som nära y = mx + b förbättrar sin avvikelse när x växer.

Asymptoter är linjer som en kurva närmar sig utan att nå den. Vertikala asymptoter uppstår när funktionen går mot ±∞ vid vissa x-värden, horisontella asymptoter beskriver ett begränsat y-värde när x → ±∞, och sneda/oblique-asymptoter beskriver linjära beteenden i form av y = mx + b när x → ∞. Exempel: f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/x har oblique asymptot y = 2x + 3 när x → ∞.

Användningen av asymptotik sträcker sig även till algoritmer och talteori, där man ofta beskriver hur kostnader växer med ingångsstorlek eller hur fördelningar beter sig när n blir stort. Inom statistik beskriver asymptotisk teori egenskaper hos estimators när urvalet blir stort, såsom konsistens och asymptotisk normalitet.

Etymologiskt kommer ordet från grekiska asymptotos, som betyder förbipasserande utan möte.