Arealrotationer

Arealrotationer är geometriska transformationer som roterar ett planområde kring en fast rotationspunkt i planet med en given vinkel. Denna typ av transformation betraktas ofta som en rotation i den planar geometri, eftersom den kring punkten bevarar storleken på figurerna och i regel deras orientering.

Den matematiska beskrivningen kan skrivas så att varje punkt x i planet överförs till x' = p + R_theta (x - p), där p är rotationscentrum, theta är rotationsvinkeln och R_theta är 2x2-matrisen [[cos theta, -sin theta], [sin theta, cos theta]]. Eftersom R_theta har determinant 1 bevaras både området och avstånden, och rotationen är en isometri. Sammantaget bildar alla arealrotationer en grupp som motsvarar SO(2) när man betraktar rotationerna kring ett gemensamt centrum, eller mer allmänt en konfiguration av rotationer kring olika centra.

Egenskaperna hos arealrotationer gör dem användbara inom datorgrafik och geometri. De bevarar area, avstånd och vinklar och har en tydlig geometrisk tolkning som en vänt rörelse i planet. Om flera arealrotationer kombineras bildas i allmänhet en rotation eller, vid speciella vinklar och centra, en translation.

Användningsområden inkluderar bild- och grafikmanipulation, där objekt roteras utan att ändra storlek, samt studier av symmetrier i geometriska figurer och i vissa dynamiska system där upprepade rotationer ger cirkelformade banor. Se även rotationsgrupp, isometri och sambandet mellan rotationer och bevarande av area.

---