Archimedesmethode

Archimedesmethode, im Deutschen oft als Methode der Erschöpfung bezeichnet, beschreibt die von Archimedes entwickelte Herangehensweise, geometrische Größen durch schrittweise Verfeinerung mit eingeschriebenen und umschriebenen Figuren näherungsweise zu bestimmen. Ziel ist es, obere und untere Schranken zu bilden, die gegen den gesuchten Wert konvergieren. Die Grundidee besteht darin, eine komplexe Größe in einfachere, vergleichbare Teile zu zerlegen und deren Größen mittels Ab- bzw. Zuschätzungen zu begrenzen und durch zunehmend feine Teilungen eine exakte Grenze zu rekonstruieren.

Archimedes nutzte diese Methode beispielhaft zur Bestimmung des Pi. Er berechnete die Umfänge von Polygonen mit zunehmender Seitenzahl, darunter 96 Seiten, sowohl eingeschrieben als auch umrissen, und erhielt damit enge Schranken für Pi: zwischen 3 1/7 und 3 10/71.

Neben der Kreisgeometrie wandte Archimedes die Methode auch auf Flächen- und Volumenberechnungen an, zum Beispiel für Kugeln, Zylinder und Kegel. Die Methode der Erschöpfung gilt heute als frühe Form des Grenzarguments und als wichtiger Schritt in der Entwicklung des Konzepts der Grenze in der Analysis. In der Geschichte der Mathematik wird sie oft als Vorläufer moderner Grenzwertmethoden betrachtet.