Anneaux

Anneaux est le pluriel du mot anneau et peut désigner plusieurs notions selon le domaine. En mathématiques, un anneau est une structure algébrique constituée d'un ensemble R muni de deux lois binaires, l'addition et la multiplication. Avec l'addition, (R,+) forme un groupe abélien; la multiplication est associative et distribue sur l’addition des deux côtés: a×(b+c)=(a×b)+(a×c). Certains anneaux possèdent une unité multiplicative 1, de sorte que 1×a=a pour tout a. Un anneau est dit commutatif si la multiplication est commutative.

Variantes et notions associées: un anneau muni d’une unité est parfois appelé anneau unitaire; s’il est commutatif, on parle d’anneau commutatif. Un anneau est intègre s’il n’a pas de diviseurs de zéro; un corps est un anneau commutatif avec unité dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Les idéaux sont des sous-ensembles fermés sous l’addition et par multiplication par tout élément de l’anneau; ils permettent de former des anneaux quotient R/I et d’étudier des propriétés par des théorèmes de quotient. Des constructions typiques incluent les polynômes R[x], les anneaux de matrices M_n(R) et les anneaux quotients.

Exemples: Z est l’anneau des entiers; Z[x] les polynômes à coefficients entiers; R et C les corps réels et complexes; M_n(R) l’anneau des matrices n×n sur R. Les anneaux jouent un rôle central en algèbre, en théorie des nombres et en géométrie algébrique.

En joaillerie, anneau désigne aussi un bijou circulaire porté au doigt, généralement en or ou en argent, parfois serti de pierres; les anneaux peuvent marquer des engagements ou des alliances et se déclinent en styles variés.