Andraderivatan

Andraderivatan är den andra avledningen av en funktion inom kalkyl. Om y = f(x) är två gånger differentiell på ett intervall, definieras andraderivatan som f''(x) = d/dx (f'(x)) = d^2y/dx^2. Den beskriver hur snabbt den första derivatan f'(x) förändras med avseende på x, dvs hur hastigheten med vilken y förändras själv förändras.

Notationen f''(x) används ofta, liksom d^2y/dx^2 eller y''. Andraderivatan är central för att analysera funktionen när det gäller konvexitet och konkavitet. Om f''(x) är positivt över ett område är grafen uppåtböjd (konvex uppåt), om f''(x) är negativt över området är grafen nedåtböjd (konkav). Vid teckenbyte eller nollställen kan funktionen ha inflection points där concaviteten ändras.

Exempelvis har y = x^2 andraderivatan f''(x) = 2, vilket är konstant positivt och grafen är konvex uppåt över hela domänen. För y = x^3 är f''(x) = 6x, som är negativt för x < 0 och positivt för x > 0, vilket återspeglar en förändring i konkavitet vid x = 0.

Tillämpningar av andraderivatan finns inom fysik, där acceleration är den andra tidsderivatan av positionen, samt inom teknik och ekonomi i optimerings- och stabilitetsanalyser samt i studier av kurvatur och inflection points. Giltig tolkning kräver att funktionen är två gånger differentiell på det område som undersöks.