Alijoukot

Alijoukot ovat keskeinen käsite joukko-opissa. Olkoon A joukko. Joukko B on alijoukko A, jos jokainen B:n elementti kuuluu myös A:han. Merkitään B ⊆ A. Jos B on alijoukko A eikä B:llä ole yhtäElementit kuin A, puhutaan oikeasta alijoukosta (proper subset). Tyhjä joukko ∅ on alijoukko mille tahansa joukko, ja jokainen joukko on alijoukko itselleen (A ⊆ A).

Esimerkki: A = {1, 2, 3}. Sen alijoukkoja ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} sekä {1,2,3}.

Perusoperaatiot: alijoukkojen kanssa tuntuvat yleiset joukko-opin operaatiot. Yhdistys A ∪ B sisältää kaikki elementit, jotka kuuluvat joko A:han tai B:hen; leikkaus A ∩ B sisältää ne elementit, jotka kuuluvat sekä A:han että B:hen; erotus A \ B sisältää ne elementit, jotka kuuluvat A:han mutta ei B:hen. Komplementti A^c määritellään suhteessa universaaliin joukkoon U: A^c = U \ A.

Ominaisuudet: Jos B ⊆ A, niin |B| ≤ |A|. Jos A on finite, potenssijoukko P(A) sisältää kaikki alijoukot ja sen koko on 2^|A|. Alijoukkojen suhde muodostaa osajoukkojen osajoukkoa, eli osajoukkojen järjestelmä on osittainen järjestys, ja P(A) muodostaa Boole-latticein.

Sovellukset: alijoukkoja käytetään laajasti logiikassa, todennäköisyyslaskennassa, kombinatoriiassa, tietojenkäsittelyssä sekä tietokantakyselyissä. Alijoukkojen käsite on matemaattisen ajattelun perusta ja tarjoaa keinon kuvata ja tutkia joukkojen rakennetta.