Algebraisierung

Algebraisierung bezeichnet in der Mathematik den Prozess, geometrische oder analytische Strukturen durch algebraische Daten zu beschreiben oder zu erkennen, dass eine gegebene Objektform tatsächlich aus einer algebraischen Quelle stammt. Zentral ist die Frage, wann ein Objekt, das in einem analytischen, formalen oder abstrakten Rahmen vorliegt, als die Analytisierung oder formale Schlussform eines algebraischen Objekts aufgefasst werden kann.

In der algebraischen Geometrie spielt die Algebraisierung eine zentrale Rolle bei formalen Schemata und Deformationen. Unter bestimmten Bedingungen liefert das Algebraisierungstheorem von Artin, dass formale Deformationen endlicher Typisierung durch ein algebraisches Objekt von endlicher Typ erzeugt werden können. Damit lässt sich zeigen, dass bestimmte local definierte Strukturen tatsächlich global durch Algebraisierung breit gefasst werden können. Die formale oder lokalen Informationen reichen demnach aus, um ein globales algebraisches Objekt zu rekonstruieren.

Ein weiteres wichtiges Bezugssystem bildet die GAGA-Theorie (Serre), die Verbindungenwege zwischen analytischen und algebraischen Räumen herstellt. Insbesondere bedeutet Algebraisierung hier, dass analytische Räume oder Subräume, die richtigen Voraussetzungen genügen (etwa Endlichkeit und Properheit), als Analytifizierungen algebraischer Räume erscheinen. Umgekehrt gibt es Analytische Objekte, die nicht algebraisiert werden können.

Die Algebraisierung ist daher eine Frage der Existenz und der Beschränkungen: Nicht jedes analytische oder formale Objekt ist algebraisierbar; Obstruktionen in Kohohomologie oder in Deformationsparametern können dies verhindern. Trotzdem ist sie ein zentrales Werkzeug zur Überführung geometrischer Fragen in die algebraische Sprache und zur Verbindung von Moduli-, Deformations- und Kategorieforschung.

Siehe auch: Algebraisierungstheorem von Artin, GAGA, formale Schemata, Analytifizierung.