Afleiðingareining

Afleiðingareining, oft nefndur afleiðingaroperator eða einfaldlega afleiðing, er stærðfræðilegt verkfæri sem gefur afleiðu falls f. Hún tekur með sér f′(x) eða Df og nær yfir f′ sem skilgreind er með takmarkunarleið (lim h→0 [f(x+h) - f(x)]/h) þegar fall f er afleiðanlegt á viðkomandi bilinu. Algeng notkun felur í sér táknun, þar sem D eða d/dx táknar afleiðingareininguna og f′(x) eða f′ er stundum notuð til að sýna afleiðuna af f með tilliti til x.

Skilningur og forsendur: Afleiðingareiningin er skilgreind fyrir föll sem eru afleiðanleg á opnu bil eða mengi í raun- eða flóruðu mengi. Hún færir til að halla eða hraða fallsins, og gegnir lykilhlutverki í lokahönnum og hreyfingarfræði. Hún er línuleg, þ.e. D(af + bg) = aDf + bDg, og uppfyllir reglurnar um margföldun fyrir föll (t.d. afleiðingareikning: afleiðingaverk sem uppfyllir reglurnar um samsetningu, eins og hlutverk fjöllunar og samþættingar).

Helstu reglur: Afleiðingareiningin uppfyllir þríreglur eins og reglu margföldunar (product rule: (uv)′ = u′v + uv′) og keðureglu (chain rule: (f∘g)′ = f′(g)·g′). Hún veitir einnig að lausn viðkomandi hliðar, svo sem að vaxa eða minnka fallið með tilliti til x. Dæmi: afleiða x^2 er 2x, afleiða sin(x) er cos(x).

Notkun: Í stærðfræði, eðlisfræði, verkfræði og tölvunarfræði gegnir afleiðingareiningin grundvallarhlutverki til að lýsa hraða, vísbendingum um snertiflöt og halla, reikna rekstrarspár, stöðugleika og margra ferla. Öll stærðfræðileg fyrirmæli um hraða og halla byggjast oft á afleiðu.