afleiðanleg

Afleiðanleg (afleiðanlegt) er hugtak í stærðfræði sem lýsir hlut sem hefur afleiðu á tilteknu svæði. Fyrir eitt breyt fall f: R -> R er f afleiðanleg á x0 ef til staðar er talan f′(x0) sem uppfyllir takmörkunina lim h→0 (f(x0+h) - f(x0)) / h = f′(x0). Í margbreytaleiknum f: U ⊆ R^n -> R^m er f afleiðanleg á x0 ef til staðar er línuleg afleiða L: R^n -> R^m þannig að f(x0+h) = f(x0) + L(h) + o(||h||) þegar h → 0. Línuleg afleiða L kallast oft Jacobian-matrix eða Digilineð gerð; í eitt breyt f er L(h) = f′(x0) h.

Afleiðanleiki krefst oftast samfelldni: ef f er afleiðanleg á öllu opnu svæðiU, þá er f samfelld á U. Afleiðan gefur nákvæma línulega nálgun á breytta hegðun f nálægt punktinum. Í fleiri víddum gildir að tilvist afleiðu f er einnig tengt gradienti eða jacobian, en tilvist hliðarrótarnlegra hlutafleiður (eða margra afleiða) tryggir í sjálfu sér ekki afleiðanleika.

Dæmi: f(x) = x^2 er afleiðanlegt á öllum x með f′(x) = 2x. f(x) = |x| er ekki afleiðanlegt á x = 0. Í margbreytileik eru cellur eins og f(x, y) = x^2 + y^2 afleiðanleg á öll punkt.

Flokkun: fela má afleiðanleika í flokkum eins og C^1 ( stig afleiðu sem er samfellt), C^k, C^∞ eða analýtískt (analytic). Afleiðanleiki er grundvallarforsenda í háu stigi hagnýtinga eins og hagfræði, eðlisfræði og tölvuþróun.