Abbildungsverkettung

Abbildungsverkettung ist die Verkettung von Abbildungen (Funktionen) in der Mathematik. Gegeben Abbildungen f1: X0 → X1, f2: X1 → X2, …, fk: X_{k-1} → X_k, deren Definitions- und Zielmengen sinnvoll übereinstimmen, ergibt sich die Abbildung F = fk ∘ fk-1 ∘ ... ∘ f1: X0 → X_k. Für jedes Element x ∈ X0 gilt F(x) = fk(fk-1(...(f1(x))...)). Die Verkettung ist assoziativ, und es gilt f ∘ id_X = f sowie id_Y ∘ f = f, mit entsprechendem Identitätsmorphismus in der jeweiligen Kategorie.

In der Notation spricht man oft von einer Abbildungsverkettung oder Verkettung von Abbildungen; die Reihenfolge bestimmt das Ergebnis. Beispiel: Gegeben f: R → R, f(x) = x^2, und g: R → R, g(y) = y + 1. Dann g ∘ f: R → R ist definiert durch (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = x^2 + 1.

Die Idee der Abbildungsverkettung ist zentral in Algebra, Analysis und Kategorientheorie, da sie es ermöglicht, komplexe Transformationen als eine einzige Abbildung zusammenzufassen. Sie spielt auch eine Rolle in der Informatik bei der Funktionskomposition und dem Durchführen von Funktionsketten.