AB5rakenne

AB5rakenne, ofta kallad AB5-axiomet eller AB5-struktur, är en egenskap hos abeliska kategorier som är central i Grothendieck-kategorier. En abelsk kategori har AB5-rakenne om filtrerade kolimiter (direkta kolimiter över ett riktat system) bevarar exakthet. Det innebär att för varje riktat system av korta exakta sekvenser 0 → A_i → B_i → C_i → 0 i kategorin är den direkta kolimiten också en exakt sekvens 0 → colim A_i → colim B_i → colim C_i → 0. Denna egenskap gör att man kan arbeta väl med konstruktioner byggda som direkta gränser eller "unionsliknande" förenklingar utan att förlora exakthet.

Kategorier som uppfyller AB5-rakenne brukar kallas Grothendieck-kategorier när de uppfyller ytterligare krav (såsom att ha en generator). Vanliga exempel är kategorin av vänster R-moduler över en ring R, där AB5-rakenne är uppfylld, samt kategorin av quasi-kohärenta skenor över en scheme som är affinoid eller uppträder i sammanhang där schemat är quasi-kompakt och quasi-separerat. Dessa exempel används ofta i algebraisk geometri och representationsteori.

AB5-rakenne har en nära koppling till homological algebra och derived categories, eftersom det garanterar att direkta kolimiter fungerar bra med exacta sekvenser. Det är också en del av Grothendieck-kriterierna som gör det möjligt att utveckla injektiva objekt och injektoriva resolutioner i breda sammanhang. Som alternativt eller kompletterande egenskaper nämns ofta AB5*, den duala versionen där koferade kolimiter ersätts av begrundade limiteringar.