3Drotatsioonides

3Drotatsioonid viitavad kolmemõõtmelise ruumi orientatsiooni muutmisele pöörlemise teel, ilma translatsioonita. Pöörlemine on ruumiline transformatsioon, mis säilitab kaugused ja ruumi pikkused. Matemaatiliselt on see R ∈ R^{3×3} lineaarne transformatsioon, mille omadused R^T R = I ja det(R) = 1. Selline transformatsioon on ortonormaalne ning orientatsiooni säilitav; kogu selliste transformatsioonide ruumi moodustab grupp SO(3).

Esitusviiside hulk 3D-rotatsioonide kirjeldamiseks on mitmeid. Levinumad on pöörlemismatrix (3×3), axis-angle ehk telje-nurk esitus ja Euler'i nurgad. Axis-angle esitus valib unit-telje u ∈ R^3 ja pöörlemisnurga θ; pöörlemine kirjeldatakse Rodrigues'i valemiga: R = I cos θ + [u]_× sin θ + uu^T (1 − cos θ), kus [u]_× on u-ga seotud ristmisterovide maatriks. Euler'i nurgad tähistavad järjestikuseid pöördeid kolmel teljel (tavaliselt yaw, pitch ja roll).

Kvaternioonid on alternatiivne esitus 3D-rotatsioonidele. Unit kvaternion q ∈ H, mille norm ||q|| = 1, esindab pöörlemist; iga rotatsioon on saavutatav kvaternionina ja pöördeid saab kombineerida kvaternionide korrutamise kaudu. Kvaternionide kasutamine võimaldab stabiilset täitmist ja efektiivset kombineerimist; interpolationiks kasutatakse sageli SLERP-i (spherical linear interpolation). Euler-nurkade kasutamisel tekkiva gimbal-locki probleemi kvaternionid ennetavad.

Ruumilise rotatsiooni teooria alusteks on SO(3) – 3D-pöördete grupp; selle Lie-algebra on so(3). Rotatsioonide teoreetiline raamistik on oluline arvutimängudes ja arvutigraafikas, roboti- ja lennundustehnikas ning virtuaalreaalsuse süsteemides orientatsiooni kontrolli ja sujuva interpoleerimise jaoks.