Rotatsioonide

Rotatsioonide all mõistetakse ruumis toimuvat pöörlemist, mille käigus objektide kuju ja suurus jäävad samaks ning distantsid ning nurgad säilivad. Geomeetrilisel tasandil ja kolmemõõtmelises ruumis on rotatsioonid orientatsiooni säilitavad rigidliikumised; neid eristatakse peegeldustest või teisaldustest, mis ei ole ainult pöörded.

Kaks dimensiooni: 2D-rotatsioon ümber fikseeritud punkti on kirjeldatav maatriksiga [cosθ, −sinθ; sinθ, cosθ], kus θ on pöörde nurk. 2D-rotatsioonid moodustavad grupi SO(2), mis koosneb igast nurgaθ pöördustest.

Kolmes dimensioonis: 3D-rotatsioonidel on telje ja nurga kujutamisviis, ning neid kirjeldatakse erinevate vahenditega, näiteks pöördemaatriks, telje-nurga esitus või kvaterniidide abil. Pöördegrupp SO(3) hõlmab kõiki kolmemõõtmelisi õigemaid (det±1, det=+1) orthonormaalmaatrikseid. Kvaterniidid pakuvad lihtsat ja stabiilset viisi 3D-rotatsioonide edastamiseks, vältides Euleri nurkadega seotud probleeme nagu gimbal lock.

Omadused: rotatsioonid säilitavad pikkused ja sisemisi korrutisi, on järjepidevad massiga seotud rakendustes ning komponeeruvad: erinevate rotatsioonide järjestylkkumisel saadakse uus rotatsioon. 3D puhul on lõppkokkuvõttes mittelineaarne ja mitte-commutatiivne.

Rakendused: arvutigraafika ja animatsioon, robotika, õhu- ja kosmosetööstus, navigatsioon ja füüsika. Füüsikas kirjeldavad need pöörlemisteke ja nurgalaengut; dünaamikas tekib ka nurgavool ja moment of inertia.

Ajalugu: rotatsioonide matemaatiline uurimine pärineb klassikalisest geomeetriast ning on arenenud Euleri, Rodrigues'i ja hiljem gruppideooria kaudu SO(n) mõisteteni.