Änderungsrate

Änderungsrate bezeichnet in der Mathematik und verwandten Fachgebieten die Geschwindigkeit, mit der eine Größe in Bezug auf eine andere Größe variiert. Am häufigsten wird die Änderungsrate bezüglich der Zeit betrachtet. Die instantaneous Änderungsrate einer Funktion f(t) wird als Ableitung f′(t) bezeichnet und entspricht die Steigung der Kurve y=f(t) an der Stelle t. Die Durchschnittsänderungsrate über ein Intervall [a,b] wird beschrieben durch (f(b)−f(a)) / (b−a). Der Grenzwert dieses Quotienten, wenn das Intervall gegen Null geht, liefert die instantaneous Änderungsrate.

Die Größenordnung der Änderungsrate wird in Einheiten pro Zeiteinheit angegeben (z. B. Meter pro Sekunde, Euro pro Jahr). Beispiel: Für f(t) = t² ist die Ableitung f′(t) = 2t; an t = 3 beträgt die Änderungsrate 6.

Neben der ersten Ableitung gibt es die zweite Ableitung f′′(t), die die Änderungsrate der Änderungsrate (Beschleunigung oder Krümmung) angibt. Größen wie Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Änderungsraten der Position bzw. der Geschwindigkeit. In der Ökonomie oder Biologie wird häufig die relative Änderungsrate betrachtet, z. B. die Proportionaländerung oder Elastizität (d/dx ln f(x) = f′(x)/f(x)).

In der Praxis kommen auch numerische Ableitungen vor (Finite-Differenzen): Vorwärts-, Rückwärts- oder zentrale Differenzen, wenn analytische Ableitungen nicht verfügbar sind.