Üksuseelem

Üksuseelem ehk identiteet on algebralise ehitise S jaoks element e, mis rahuldab kõigi a ∈ S korral e * a = a ja a * e = a. Selline element on neutraalne mitmes erinevas kontekstis ja toimib kui “saadakse tulemusena sama” element.

Üksuseelem eksisteerimine sõltub struktuurist. Kui S on monoid ehk binaarse operatsiooni all assotsiatiivne ning sisaldab identiteeti, siis selline element eksisteerib. Üldiselt, kui Sil on identiteet, on ta alati unikaalne: kui e ja e' mõlemad täidavad identiteedi omadust, siis e = e * e' = e'.

Näited ja tähendus erinevates struktuurides:

- Inimkonna arvude kogum Z operatsiooniga liitmine, identiteet on 0; Z ühtedele korrutamise korral on identiteet 1. Sarnaselt toimib identiteet tervetes R-skaalades: liitmine ühendab identiteediga 0, korrutamine identiteediga 1.

- N-ruudulised maatriksid M_n(R) korrutamisel kasutavad identiteeti I_n, mis on diagonaalne üksuste kogum.

- Funktsioonide hulgast X → X koostamisel on identiteet funktsioon id_X, mis iga x lähendab sama x-ile.

- Loogikas ja digitaaltehnoloogias võib identiteetse leida erinevate operatsioonide jaoks: näiteks konjunktiivis (AND) on identiteet true ning disjunktsioonis (OR) identiteet false.

- Ringides ja algebrades, kus on korrutamine ja liitmine, on mõiste “manafaktiivne identiteet” tuntud kui multiplicative identity ehk 1, mis jääb muutumatuks kõigi teiste elementide suhtes.

Üksuseelem on oluline alus kõigis algebra tüüpides, kuna see võimaldab lahendada ühtlikke arvutusi ja defineerida moodsad struktuurid, nagu monoidid ja ringide moodustamise eeltingimused.