yhtälöjärjestelmiin

Yhtälöjärjestelmä on joukko toisiinsa liittyviä yhtälöitä, joissa on yhteiset tuntemattomat. Yleisenä muotona on f1(x1,...,xn)=0, ..., fm(x1,...,xn)=0. Järjestelmän ratkaisut ovat ne n‑tuple(x1,...,xn), jotka täyttävät kaikki yhtälöt samanaikaisesti. Yhtälöjärjestelmiä voidaan tarkastella lineaarisina ja ei-lineaarisina sekä homogeenisina että ei-homogeenisina.

Lineaariset järjestelmät muodostetaan, kun kaikki tuntemattomat esiintyvät astetta 1 eikä tuloksia ole monimutkaistettu. Tällöin järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax=b, jossa A on m×n‑matriisi, x tuntemattomien vektori ja b oikeanpuoleinen vektori. Ratkaisut määräytyvät matriisin A ja laajennetun matriisin [A|b] ratkaisukykyn mukaan. Jos rank(A)=rank([A|b])=n, järjestelmällä on yksikäsitteinen ratkaisu. Jos rank(A)=rank([A|b])=r<n, ratkaisuja on ääretön määrä. Jos rank([A|b])>rank(A), järjestelmällä ei ole ratkaisua. Homogeeninen järjestelmä (b=0) sisältää aina nolla‑ratkaisun.

Erityiskäytännöt ja menetelmät liittyvät lineaarisiin järjestelmiin: Gaussin eliminointi ja Gauss–Jordanin pienennys, rivimuunnokset sekä matriisinkääntö silloin, kun A on n×n ja kääntyvä. Cramerin sääntö antaa ratkaisun, jos n×n‑järjestelmässä det(A)≠0. Epälineaarisissa järjestelmissä ratkaisut voivat olla nolla, yksi tai useita, ja niitä ratkaistaan useimmiten numeerisin menetelmin, kuten Newtonin menetelmä tai iteratiiviset lähestymistavat.

Sovellukset ovat laajat: fysiikka, tekniikka, talous ja tietojenkäsittely, joissa malleja rakennetaan ratkaisemaan tuntemattomia riippuvia muuttujia useissa yhtälöissä samanaikaisesti. Esimerkki: x+y=3 ja 2x−y=0 johtaa ratkaisuun x=1, y=2.