wariancji

Wariancja (pol. wariancja) to miara rozproszenia zmiennej losowej wokół jej wartości oczekiwanej. Formalnie Definicja: Var(X) = E[(X − E[X])^2], pod warunkiem że oczekiwanie istnieje. Wariancja może być również zapisana jako Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2. Wartość ta opisuje średnią kwadratową różnicę między obserwacjami a średnią.

W praktyce wyróżnia się wariancję populacyjną σ^2 i wariancję próbną s^2. Wariancja populacyjna dotyczy całej populacji, natomiast wariancja próbna służy do szacowania σ^2 na podstawie próby. Zwykle estymuje się ją wzorem s^2 = (1/(n−1)) Σ_{i=1}^n (x_i − x̄)^2, gdzie x̄ jest średnią próby. Bessel’s correction (n−1) zapewnia nieobciążenie estymatora wariancji.

Własności: wariancja jest nieujemna. Dla stałej c Var(X + c) = Var(X) i Var(aX) = a^2 Var(X). Dla niezależnych zmiennych X i Y Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y); w ogólności Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y). Jednostki wariancji to kwadrat jednostki X, a jej pierwiastek (odchylenie standardowe) ma te same jednostki co X.

Interpretacja i zastosowania: wariancja mierzy niepewność lub rozproszenie wyników. Jest kluczowa w analizie ryzyka, statystyce, inferencji i modelowaniu; w analizie wielu zmiennych tworzy macierz kowariancji wraz z wariancjami poszczególnych cech. W rozkładzie normalnym wariancja w pełni określa rozkład.