vinstfunktioner

Vinstfunktioner, eller profitfunktioner, beskriver ett företags maximala vinst som funktion av priserna på varor och insatsvaror. Formellt definieras de som π(p, w) = max_{x ≥ 0} p·f(x) - w·x, där p är prisvektor för utgångar, w är prisvektor för insatsvaror och f(x) är produktionsfunktionen (eller y = f(x) är den producerade mängden).

Vinstfunktionen står i dualitet med kostnadsfunktionen. Under antagandet att kostnaden av att producera y är C(w, y) = min_{x: f(x) ≥ y} w·x, kan π(p, w) skrivas som π(p, w) = max_y [ p·y - C(w, y) ]. Denna dualitet visar hur teknologi och kostnadsstruktur tillsammans bestämmer vinstnivån.

Egenskaperna. Vinstfunktionen är generellt concave i prisvektorna och homogen av grad ett i (p, w). Enligt envelope-teoremet är marginaleffekterna givna av π_p = ∂π/∂p = y*, och π_w = ∂π/∂w = -x*, där y* är den producerade mängden och x* de använda insatsvarorna vid optimum. Dessa marginaler kopplar prisförändringar till utbud och insatsanvändning.

Användningar. Vinstfunktionen används för att analysera hur produktionen svarar på prisförändringar, för att härleda utbuds- och insatsfrågor samt för att studera hur teknologin sätter gränser för vinstökningar. Genom Shephard-dualitet kan man också återgå till kostnads- eller produktionsfunktioner från π eller dess marginaler.

Begränsningar. I praktiken krävs ofta antaganden som begränsad kapacitet eller icke-linjära kostnader för att undvika oändliga lösningar när priserna är gynnsamma, vilket understryker att vinstfunktionen är ett teoretiskt verktyg som speglar den underliggande teknologin.