vektnivå

Vektnivå er et begrep som brukes i matematikk for å beskrive nivåsettet til en vektorverdig funksjon. For en funksjon F: D → R^m med D ⊆ R^n, og en fast verdi y i R^m, er vektnivået L_y definert som L_y = { x i D | F(x) = y }. Dette er en generalisering av det klassiske nivåsettet for scalarfunksjoner, og brukes til å beskrive alle inndata som gir samme vektoruttdata.

I praksis brukes ofte begrepene nivåsett, nivåmengde eller preimage; ordet vektnivå brukes ofte når utdataene er vektorverdier.

Eksempel: La F: R^2 → R^2 være F(x, y) = (x^2 + y^2, x − y). For y = (1, 0) er L_y gitt ved likningene x^2 + y^2 = 1 og x − y = 0. Løsningene er punkt der linjen y = x skjærer enhetssirkelen, og gir vanligvis to punkter.

Egenskaper: Hvis F er differentiabel og y er en regelmessig verdi for F, blir L_y ofte en glatt underverdi (undermangfold) av dimensjon n − m, i henhold til det implicitte teoremet. Når y ikke er en regelmessig verdi, kan L_y ha singulariteter eller være tom.

Anvendelser: Vektnivåer brukes til visuellisering og analyse av flerdimensjonale vektorfelt, og i anvendelser som fysikk, ingeniørfag og robotikk for å identifisere tilstander som gir samme utdata.

Noter: Terminologien varierer mellom språk og fagfelt; noen referanser bruker «nivåsett» eller «preimage» for vektorverdige funksjoner.