vektfunksjoner

Vektfunksjon, eller vektorfunksjon, er en funksjon som tilordner en vektor til hvert innslag i sitt domene. Ofte har domene en del av den reelle tallinjen, og codominen er R^n. En vanlig form er r(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), der hver komponent xi er en reell funksjon av parameteren t. Dermed er r en funksjon fra et intervall I ⊂ R til R^n. I geometri beskriver r ofte en parametrisk kurve i rommet.

Differensialitet og hastighet: Hvis alle komponentene xi er differentiable på I, er r differentiabel og r'(t) = (x1'(t), x2'(t), ..., xn'(t)). Tangentvektoren til kurven i t er r'(t), og farten langs kurven er |r'(t)|. Lengden av kurven mellom t0 og t1 er L = ∫_{t0}^{t1} |r'(t)| dt. Når hastigheten er konstant og positiv, kan t brukes som en arclength-parameter.

Eksempler: r(t) = (cos t, sin t) beskriver enhetsirkelen når t varierer over ett intervall. En lineær vektorfunksjon r(t) = a + t v beskriver en rett linje med konstant fart. Mer generelt gir komponentfunksjonene x1(t), x2(t), ..., xn(t) en parametrisk beskrivelse av en kurve i Rommet.

Generalisering og anvendelser: Vektfunksjoner kan ha domene i R^k og codominen i R^m, og brukes til å beskrive bevegelser i fysikk, baner i datagrafikk, samt parametrisering av kurver og overflater i geometri. I fysikk og ingeniørfag er ofte r(t) sentral ved beregning av posisjon, hastighet og akselerasjon. Gjennom komponentvis analyse beholder en vektorfunksjon egenskaper som kontinuitet og differensierbarhet, slik at klassiske operasjoner på funksjoner kan brukes komponentvis.