variatsioonanalüüs

Variatsioonanalüüs on matemaatiline meetod, mida kasutatakse funktsionaalide ekstreemumite leidmiseks. See on calculus of variations haru, mis tegeleb funktsioonide funktsioonide uurimisega. Funktsionaal on matemaatiline objekt, mis võtab funktsiooni sisendina ja annab tagasi skaleeri. Variatsioonanalüüsi abil otsitakse funktsionaali minimaalset või maksimaalset väärtust, mida nimetatakse ekstreemumiks.

Peamine idee variatsioonanalüüsis seisneb funktsionaali muutuste uurimises, kui funktsiooni sisend pisut muutub. Seda protsessi nimetatakse variatsiooniks. Variatsioonivõrrandite kaudu saab tuletada vajalikud tingimused funktsionaali ekstreemumi saavutamiseks. Need tingimused on sageli diferentiaalvõrrandid, mille lahendid on otsitavad funktsioonid.

Variatsioonanalüüsi rakendused on laialdased. Seda kasutatakse füüsikas, eriti mehaanikas, optikas ja väljateoorias, et kirjeldada looduslikke protsesse, mis minimeerivad mingi füüsikalise suuruse, näiteks energia või tegevuse. Samuti leiab see rakendust inseneriteaduses, majanduses ja isegi kunstis. Näiteks, minimaalse pindala leidmine kahe punkti vahel või trajektoori leidmine, mis täidab teatud kriteeriumid, on variatsiooniprobleemid. Eukleidese geomeetrias on sirgjooned lühimad kaugused punktide vahel, mis on ka variatsioonilise optimeerimise tulemus.