underdæmpning

Underdæmpning er en tilstand i dynamiske systemer hvor dæmpningen er mindre end den værdi der giver kritisk dæmpning. I praksis betyder det, at systemets naturlige svingninger oscillerer med aftagende amplitude i stedet for at vende tilbage monotont til hvile.

I et lineært andetordens system kan underdæmpning beskrives med ligningen x'' + 2ζω_n x' + ω_n^2 x = 0, hvor ω_n er den naturlige frekvens og ζ (dæmningskvotienten) er mindre end 1. Når ζ < 1 får man komplekse rødder: s = -ζω_n ± i ω_n sqrt(1-ζ^2). Den fysiske løsning består derfor af en dæmpet oscillation med dæmpet frekvens ω_d = ω_n sqrt(1-ζ^2) og en amplitudetilfaldende faktor e^{-ζω_n t}.

For et frit svingende system er løsningen typisk formet som x(t) = e^{-ζω_n t}[A cos(ω_d t) + B sin(ω_d t)]. Ved et påført skridt eller impuls følger en dæmpet svingning med overshoot og en afsluttende fase, hvor graden af overshoot og tidsforløbet afhænger af ζ. Overshootet ved en enhedsskridt kan ca. beskrives af M_p = exp(-π ζ / sqrt(1-ζ^2)) for 0 < ζ < 1.

Under dæmpning skelnes der mellem underdæmpning (0 < ζ < 1), kritisk dæmpning (ζ = 1) og overdæmpning (ζ > 1). Underunderdæmpning giver oscillerende respons med aftagende amplitude, mens kritisk og overdæmpet respons mangler svingninger og vender tilbage til hvile på andre måder.

Anvendelser optræder i mekaniske konstruktioner som støddæmpere og bilophæng, i struktur- og byggedynamik, samt i elektriske RLC-kredsløb, hvor dæmpningen formes for at styre overshoot, svingningstider og stabilitet. Trafik og maskinindustri drager nytte af forståelsen af underdæmpning for at designe sikre og behagelige systemer.