ufuldstændighed

Ufuldstændighed beskriver en tilstand, hvor en teori eller beskrivelse ikke er fuldstændig. I formel logik og matematik bruges begrebet især om systemer, der ikke kan afgøre alle udsagn i sit sprog.

Gödels ufuldstændighedssætninger (1931) viser, at enhver konsistent, effektivt axiomatiseret teori, der er tilstrækkeligt stærk til at beskrive aritmetik, ikke kan være komplet: der findes sande udsagn, som ikke kan bevises inden for teorien.

Der skelnes ofte mellem syntaktisk ufuldstændighed (eksistensen af udsagn, der ikke kan bevises inden for systemet) og semantisk ufuldstændighed (udsagn hvis sandhed afhænger af fortolkning eller model). Gödels ufuldstændighedssætninger viser, at sådanne udsagn findes i enhver konsistent, tilstrækkeligt stærk teori.

Historisk spillede ufuldstændighed en central rolle i matematikens grundlag. Hilberts program søgte et fuldstændigt og mekanistisk bevisbart fundament; Gödel viste, at sådanne ambitioner ikke kan opfyldes for stærke systemer. Rosser formulerede en version, der kun krævede konsistens frem for omega-konsistens som forudsætning for ufuldstændighed.

Ufuldstændighed anvendes også bredt i epistemologi og videnskabsteori for at beskrive grænser for menneskelig viden og for, hvor fuldstændige vores teorier kan være. Den minder os om, at ingen enkelt teori kan dække alle sandheder i alle situationer.