transformoinnit

Transformoinnit ovat matemaattisia kartoituksia, jotka vievät kohteita yhdestä joukosta toiseen ja usein säilyttävät jotakin rakennetta. Niillä voidaan kuvata muun muassa geometrian muunnoksia, signaalien käsittelyä tai data-aiheisia operaatioita. Transformoinnit voivat olla lineaarisia, affiineja tai yleisempiä kuin näitä, ja ne voidaan esittää usein matriisitse tai funktioina.

Geometrisissa transformoinneissa yleisimpiä ovat siirto (translation), kierto (rotation), skaalautuminen (scaling) ja heijastus (reflection). Näiden lisäksi on affinen transformaatio, jonka perussuureissa säilyy suorat yhdensuuntaisuutta ja parallellisuus, sekä projektioraportit, jotka voivat muuttaa kuvan muodon säilyttäen pisteiden linjat. Geometriset transformoinnit voivat olla joko kääntyviä tai ei-kääntyviä, ja niitä voidaan esittää matriisina tai koordinaattimuutoksina homogeenisissa koordinaateissa.

Lineaariset transformoinnit ovat muunnoksia, joissa T(a x + b y) = a T(x) + b T(y). Ne voidaan esittää matriisina y = A x, missä A on neliöity matriisi. Affine transformaatio on yleisempi muoto y = A x + t, jossa t on siirtovektori. Invertiibiliys ja koostuminen ovat tärkeitä ominaisuuksia: käännettävä A tai kokonaisuus T voidaan kumota, jaTransformoinnit muodostavat usein yhdistetyn operaation, kun niitä ketjutetaan.

Muita käyttökohteita ovat signaalin ja datan muunnokset, kuten Fourier-, Laplace- ja z-transformit, sekä erilaiset tietokone- ja kuvankäsittelyssä sovellettavat muunnokset. Transformoinnit tarjoavat keinon analysoida ja muokata kohteita sekä ymmärtää niiden rakennetta eri konteksteissa.