tillståndsrumsteori

Tillståndsrumsteori är ett område inom system- och kontrollteori som studerar dynamiska system genom deras tillståndsrum. I denna ram representeras ett system vanligtvis av tillståndsvektorn x(t), ingången u(t) och utgången y(t). För linjära tidsinvarianta system skrivs ofta:

dx/dt = Ax + Bu

y = Cx + Du

med konstanter A, B, C och D. Tillståndet x innehåller interna variabler som behövs för att beskriva systemets framtida beteende. Genom att manipulera A, B, C och D kan man koppla upp ett system till ett särskilt beteende i tid och frekvens.

Viktiga begrepp är kontrollerbarhet och observabilitet. Kontrollerbarhet avgör om vilket tillstånd som helst kan nås från nolltillståndet med rätt ingångssignal, medan observabilitet avgör om tillståndet kan bestämmas från utdata över tid. Dessa egenskaper utgör grunden för Kalman-dekompositionen och möjliggör minimal realisering — den enklaste modellen som har samma ingång-utdata-beteende.

Stabilitet studeras vanligtvis via A:s spektrum (eigenvärden) och Lyapunov-teori. För linjära system kopplas tillståndsrum till överföringsfunktioner genom G(s) = C(sI − A)^{-1}B + D.

Användningsområden inkluderar reglerdesign (tillståndsfeedback och observerare), modellreducering och diskretisering för digital implementering. Historiskt lanserade Rudolf Kalman idén om tillståndsrumsteori under 1960-talet och lade grunden för modern kontrollteori; sedan har teorin utvidgats till icke-linjära, stokastiska och data-drivna metoder.