tilingów

Tilings, w języku polskim często nazywane tessellacjami, to pokrycie płaszczyzny plastrami (tiles) o kształtach geometrycznych tak, aby nie zachodziły na siebie i nie pozostawiały pustych miejsc. W praktyce badania koncentrują się na możliwościach ustawiania plastrów przy ograniczeniach krawędzi, ich symetrii i powtarzalności. Plasty mogą być proste lub złożone, a ich zestaw i zasady układania decydują o typie tilingu.

Klasyfikacja obejmuje tilingi periodyczne i aperiodiczne. Tilings periodyczne mają motyw powtarzalny, który można przesuwać w obu kierunkach bez zmiany całości. Najprostsze przykłady to periodyczne układy z jednym typem plastrów: kwadratem, trójkątem lub sześciokątem. Semiregulne (Archimedean) tilings wykorzystują więcej niż jeden typ plastrów, zachowując regularne krawędzie i pewną symetrię. Tilings aperiodiczne nie mają translacyjnej symetrii mimo że mogą być z pomocą ograniczeń liczby krawędzi tworzyć całe pokrycie; znaną przykładą są tilings Penrose’a, które generują długie, nieregularne wzory z dwóch typów plastrów.

Zastosowania obejmują projektowanie mozaik, architekturę i grafikę komputerową, a także badania w krystalografii, fizyce materiałów i teorii grup. Historia tilings łączy odkrycia Keplera i rozległe rozwinięcia w pracach Coxetera z XX wieku, a także współczesne badania nad aperiodicznymi układami i metodami substitucji. Tilings stanowią istotny obszar matematyki dyskretnej i geometrii, łącząc estetykę z praktycznymi problemami pokrywania powierzchni.