tfördelning

t-fördelningen, även känd som Studentens t-fördelning, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som används vid statistisk inferens när populationens standardavvikelse inte är känd. Den introducerades 1908 av William Sealy Gosset under pseudonymen Student och har stor betydelse för små urval. Fördelningen uppstår när man uppskattar medelvärdet av en normalfördelad population baserat på ett litet urval och där variansen skattas från data.

t-fördelningen kännetecknas av frihetsgrader ν (ofta betecknat ν eller df). Den är symmetrisk kring noll och har tyngre svansar än standardnormalfördelningen, vilket gör den mer konservativ vid små urval. Ju större ν, desto närmare liknar den sig en N(0,1). Den matematiska tätheten är f(t; ν) = Γ((ν+1)/2) / [√(νπ) Γ(ν/2)] · [1 + t^2/ν]^(-(ν+1)/2), där t ∈ ℝ.

Användningar inkluderar t-test för ett medelvärde, två oberoende grupper och parvisa tester. t-fördelningen möjliggör konfidensintervall för medelvärdet när σ är okänt och används även i regression för att bedöma enskilda koefficienter. Relationer: om T ~ t_ν så är T^2 → F(1, ν). Frihetsgraderna ν bestäms av urvalets storlek och jämförda gruppernas konfiguration (t.ex. n−1 för ett enkelt one-sample fall eller n1+n2−2 för lika varians i två-sample fallet).

Begränsningar: förutsätter normalt fördelade fel i många tester och oberoende observationer. Vid små avvikelser kan t-testen vara robust, men allvarliga brytningar av normalitet eller oberoende kan påverka resultaten och kräva alternativa metoder.