symmetriaoperaatioiden

Symmetriaoperaatiot ovat geometrian muunnoksia, jotka kartoittavat kappaleen tai kuvan siten, että sen muoto ja koko säilyvät. Usein ne ovat isometrioita, jotka säilyttävät etäisyyksiä ja kulmia. Kun symmetriaoperaatio sovelletaan kappaleeseen, tuloksena on sama objekti kuin ennen muunnosta.

Yleisimmät esimerkit ovat identiteetti (ei muutosta), kierto tietyn kulman ympäri ja heijastus tietyllä linjalla tai tasolla. Siirto eli translaatio, jossa kappale siirtyy tilassa, on myös symmetriaoperaatio, kun kohde palautuu samaan kuosiin. Näiden operaatioiden yhdistelmät muodostavat monimutkaisempia symmetriakuvioita.

Kaikkien tietyn kappaleen symmetriaoperaatioiden joukko muodostaa ryhmän, jota kutsutaan kappaleen symmetria-ryhmä. Ryhmän periaatteisiin kuuluvat sulkeutuvuus, neutraalielementti eli identiteetti sekä jokaiselle operaatiossa olevan käänteisen.

Esimerkkejä: säännöllisen n-kulmaisen figuurin symmetria-ryhmä on dihedraalinen D_n; ympyrä omaa jatkuvan kiertymän ja sitä vastaavan kierto-operaatioiden joukon. Kolmiulotteisessa tilassa symmetriat voivat olla tilallisia eli space-ryhmiä, jotka huomioivat sekä kiertämiset että siirrot kristallirakenteissa.

Sovelluksia ovat matematiikan ja geometrian tutkimus, kristallografia ja kemia sekä kuvankäsittely ja tietokonenäkö, joissa symmetrian käsitteet helpottavat muotojen analysointia, luokittelua ja mallintamista.