surjektiviteetti

Surjektiviteetti, joka tunnetaan myös nimellä päällekkyys tai surjektiivisuus, on käsite matematiikassa, erityisesti funktioiden teoriassa. Funktiota kutsutaan surjektiiviseksi, jos sen maalijoukko on täsmälleen sama kuin sen arvojoukko. Toisin sanoen, jokainen maalijoukon alkio on jonkin lähtöjoukon alkion kuva.

Kuvitellaan funktio f, joka kuvaa joukon A joukon B alkioiksi, merkitty f: A -> B. Funktio f on surjektiivinen, jos jokaiselle alkiolle b, joka kuuluu joukkoon B, on olemassa ainakin yksi alkio a, joka kuuluu joukkoon A, siten että f(a) = b. Maalijoukon kaikkien alkioiden on siis oltava jonkinlaisen syötteen kuvia.

Yksinkertainen esimerkki surjektiivisesta funktiosta olisi funktio, joka kuvaa kaikki kokonaisluvut niiden neliöjuuriksi reaalilukujen joukossa. Tässä tapauksessa maalijoukko ovat kaikki reaaliluvut, ja koska jokaisella positiivisella reaaliluvulla on reaalinen neliöjuuri (ja nollalla on myös neliöjuuri nolla), funktio on surjektiivinen. Negatiiviset reaaliluvut eivät kuitenkaan ole tässä tapauksessa maalijoukon alkioita, joten tämä esimerkki ei ole täysin tarkka.

Parempi esimerkki olisi funktio f(x) = x^2, joka kuvaa kokonaisluvut reaalilukujen joukossa. Tämän funktion arvojoukko ovat kaikki ei-negatiiviset reaaliluvut. Jos maalijoukko asetetaan myös näiksi ei-negatiivisiksi reaaliluvuiksi, funktio on surjektiivinen, koska jokainen ei-negatiivinen reaaliluku on jonkin kokonaisluvun neliö.

Surjektiviteetti on tärkeä käsite määriteltäessä esimerkiksi bijektiivisiä funktioita, jotka ovat sekä injektiivisiä (yksikäsitteisiä) että surjektiivisia.