subadditivität

Subadditivität ist ein Begriff aus der Mathematik, der Eigenschaften von Funktionen und Maßen beschreibt, bei denen die Größe eines Gesamtobjekts nicht größer ist als die Summe der Größen seiner Teile. Formal gilt: Eine Funktion f von einer Menge D in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt subadditiv, wenn für alle x,y in D mit x+y in D gilt f(x+y) ≤ f(x) + f(y).

Beispiele: Die Funktion f(x) = sqrt(x) auf [0, ∞) ist subadditiv, da √(x+y) ≤ √x + √y gilt. Ebenfalls subadditiv ist f(x) = log(1+x) für x ≥ 0, weil log(1+x+y) ≤ log(1+x) + log(1+y) folgt. Allgemein gilt, dass für 0 < p ≤ 1 die Funktion f(x) = x^p auf [0, ∞) subadditiv ist, weil (x+y)^p ≤ x^p + y^p.

Maßgebend ist auch die Subadditivität von Maßen: Für eine Maß μ gilt μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B) für disjunkte Mengen A,B. Diese Eigenschaft zieht sich durch viele Bereiche der Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Ökonomik (z. B. Kostenfunktionen).

Subadditive Folgen: Eine Folge a_n heißt subadditiv, wenn a_{m+n} ≤ a_m + a_n für alle m,n. Unter milden Bedingungen führt das Fekete-Lemma zu existierenden Grenzwerten: lim_{n→∞} a_n / n existiert und ist gleich dem Infimum von a_n/n.

Nicht jede Funktion ist subadditiv; als Gegenbeispiel gilt f(x) = x^2, denn (x+y)^2 ≤ x^2 + y^2 ist im Allgemeinen falsch. Subadditivität ist eine nützliche Eigenschaft, die Skaleneffekte beschreibt und in vielen Bereichen eine zentrale Rolle spielt.