støttefunksjon

Støttefunksjon er i konveks analyse en funksjon som for en ikke-tom delmengde K av R^n defineres som h_K(y) = sup{⟨y, x⟩ : x ∈ K}. Den gir den største verdien av indreproduktet mellom y og et punkt i K og har en geometrisk betydning: h_K(y) er verdien av en støtteflate med normalvektor y som er tangent til K. Dersom K ikke er begrenset, kan h_K(y) være +∞ i enkelte retninger.

Egenskaper og forhold: Hvis K er ikke-tom og kompakt, er h_K definert og finite for alle y, og funksjonen er konveks, positivt homogen og under-additiv i y (altså sublineær). For generelle K kan h_K være uendelig i visse retninger. Støttefunksjonen er også åpenbart logisk i dualitetssammenheng: h_K(y) er ofte skrevet som σ_K(y) og opptrer som Fenchel-konjugatet til indikator-funksjonen δ_K.

Geometrisk tolkning og gjenfinning av K: Mengden K kan beskrives som et snitt av halfspaces via støttefunksjonen: K = { x ∈ R^n : ⟨y, x⟩ ≤ h_K(y) for alle y ∈ R^n }. Støttefunksjoner gir også innsikt i hvordan K oppfører seg under operasjoner som Minkowski-sum og skalering: h_{K+L}(y) = h_K(y) + h_L(y) og h_{tK}(y) = t h_K(y) for t ≥ 0.

Eksempler: For K som enhetene ball B, h_B(y) = ||y||. For K = [-1,1]^n, h_K(y) = ∑ |y_i|. For et linjesegment [a,b], h_K(y) = max{⟨y, a⟩, ⟨y, b⟩}.

Bruksområder: Støttefunksjoner brukes i dualitet, beskrivelse av konvekse mengder via støtteflater, og i beregninger knyttet til avstand og optimering. Se også polar, konjugasjon og Minkowski-funksjon.